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프랙탈. 픽사베이


“우리는 누군가의 뇌 속에 있을지도 모른다.”
고등학교 수학 시간에 복소수나 무한급수를 배우는 학생들은 한번쯤 이런 상상을 한다.
“선생님, 프랙탈이 그거죠? 무한히 반복되는 그 그림!”
교실에 울려 퍼지는 감탄사에 등장하는 프랙탈(fractal)은 부분이 전체와 닮은 모양이 무한히 반복되는 구조를 말한다. 한 조각을 확대해도 전체와 같은 모습이 나타나는 신비롭고 아름다운 수학의 세계다. 자기 유사성이라 부르는 이 성질 덕분에 프랙탈은 마치 끝없이 펼쳐진 우주의 질서를 엿보게 한다.



망델브로 집 관련 내용 바다이야기사례 합. 픽사베이


프랙탈이라는 개념은 프랑스 수학자 브누아 망델브로가 ‘영국의 해안선 길이는 얼마일까?’라는 단순한 질문에서 출발했다. 그는 해안선을 아무리 자세히 들여다봐도, 굴곡이 또 굴곡을 낳는 구조임을 발견했다. 확대할수록 새로운 모양이 나타나고, 작게 축소해도 전체와 닮아 있는 그 형태가 바 관련 내용 릴플레이설치 자료 로 프랙탈의 본질이다.
자연은 이미 오래전부터 프랙탈의 세계를 품고 있었다. 눈 결정, 고사리 잎, 번개, 리아스식 해안, 브로콜리, 나무의 가지, 또한 우리의 폐 속 허파꽈리까지 모두가 프랙탈이다. 유한한 부피를 지녔지만 표면적이 무한히 넓어지는 구조 덕분에, 폐는 제한된 공간에서 산소 교환을 위한 표면적을 최대한 넓히기 위해 프랙탈과 백경플레이랜드 유사한 방식으로 가지를 뻗어 나가는 구조로 진화했다.



사람의 폐. 출처 ytn사이언스


프랙탈의 매력은 과학을 넘어 예술로도 확장된다. 미국의 추상화가 잭슨 폴록은 물감을 흩뿌리는 ‘드리핑’ 기법으로 세계적인 명성 관련 내용 릴플레이사례 을 얻었다. 즉, 그의 작품에는 일정한 프랙탈 패턴이 녹아 있는데, 이는 그가 세상을 떠난 뒤 ‘진품’ 여부를 판별하는 기준으로 활용됐다.
프랙탈은 디지털 시대의 예술 언어로도 진화했다. 컴퓨터 그래픽 프로그램을 사용하면 누구나 복잡하고 아름다운 프랙탈 도형을 그릴 수 있다. 아이들이 마우스를 움직이며 망델브로 집합을 생성할 때, ‘무한의 한국릴플레이 예술’이 펼쳐지는 이유다.
미국 네바다주의 블랙 록 사막에는 1000개가 넘는 원으로 이루어진 거대한 그림이 있다. 모래 예술가 짐 데네반이 동료들과 함께 모래 위에 새긴 이 그림은 아폴로니안 개스킷이라는 프랙탈 도형의 일부다. 끝없이 반복되는 원의 패턴을 하늘에서 바라보면 마치 인간이 만든 문명과 자연의 질서가 하나로 어우러진 듯한 느낌을 준다.



우리 몸 또한 프랙탈의 세계다. 폐와 뇌의 주름, 혈관과 망막의 모세혈관은 모두 복잡한 자기 유사 구조를 띤다. 그 덕분에 산소와 영양분이 효율적으로 퍼지고, 내용가 빠르게 전달된다. 한없이 복잡해 보이지만, 그 속에는 질서와 규칙이 있다. 우리 몸이 단순한 생물학적 구조물이 아니라 수학적 조화로 이뤄진 하나의 우주임을 보여주는 사례다.
프랙탈 도형은 복소수를 사용해 정의할 수 있다. 실수 a, b를 좌표평면 위 점으로 대응시켜 반복 계산을 수행하면 그 결과로 놀라운 도형이 탄생한다. 컴퓨터가 없던 시절에는 상상으로밖에 그릴 수 없던 그림들이, 이제는 손끝에서 현실로 피어난다. 갈릴레이는 “신은 수학이라는 언어로 우주를 창조했다”고 말했는데, 프랙탈은 그 말의 의미를 가장 잘 보여준다.
끝없이 닮아가는 삶의 패턴, 프랙탈을 바라보면 문득 “우리의 삶도 프랙탈이 아닐까?”라는 생각이 든다. 부모의 말투와 태도가 자녀에게 이어진다. 작은 행동이 또 다른 행동을 낳고, 그렇게 반복되는 일상에서 우리는 서로를 닮아간다. “우주는 얼마나 닮아 있을까, 또한 우리는 그 속에서 얼마나 닮아가고 있을까.”
최우성 다산고 교장·‘수포자도 수학 1등급 받을 수 있어’ 저자